Question

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn)，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1) ;(2)直線l與橢圓相切;(3)

解析試題分析：(1)直線是拋物線的一條切線.所以將直線代入拋物線方程，即，得出的值，利用，橢圓中,依次解出,從而解出方程；
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，注意用到平方相減消，得到關(guān)于的方程，求其，利用點(diǎn)在橢圓上的條件，判定直線與橢圓的位置關(guān)系;
（3）首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí),求其切線方程，并求他們的交點(diǎn)，交點(diǎn)有可能是恒過的定點(diǎn)，如果是圓上恒過的定點(diǎn)，如果是則需滿足，,從而判定所求交點(diǎn)是否是真正的定點(diǎn).此題屬于較難習(xí)題.
試題解析：（1）因?yàn)橹本�是拋物線的一條切線，所以，
即        2分
又，所以，
所以橢圓的方程是.                 4分
（2）由得

①

②

由①²+②得

 
∴直線l與橢圓相切                9分
(3）首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí)，
求得兩圓的方程為
，
兩圓相交于點(diǎn)（，0），（，0），
若定點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)（.
則需證：.
設(shè)點(diǎn)，則橢圓過點(diǎn)P的切線方程是，
所以點(diǎn)
，
 所以.                    11分
若定點(diǎn)為，
則，不滿足題意.
綜上，以線段AP為直徑的圓恒過定點(diǎn)（，0）.      14分
考點(diǎn)：1.橢圓的性質(zhì)與方程；2.直線與圓錐曲線相交時(shí)的綜合問題.