【題目】如圖1所示的平面圖形中,ABCD是邊長為2的正方形,△HDA和△GDC都是以D為直角頂點的等腰直角三角形,點E是線段GC的中點.現(xiàn)將△HDA和△GDC分別沿著DA,DC翻折,直到點H和G重合為點P.連接PB,得如圖2的四棱錐.
(Ⅰ)求證:PA∥平面EBD;
(Ⅱ)求二面角C﹣PB﹣D大。
【答案】證明:(Ⅰ)連接AC交BD于點O,連接EO,因為四邊形ABCD是正方形,所以O為AC的中點,
又因為E為PC中點,所以EO為△CPA的中位線,所以EO∥PA
因為EO平面EDB,PA平面EDB
所以PA∥平面EDB
(Ⅱ)由題意有PD⊥DC,PD⊥DA,AD⊥CD,故DA,DC,DP兩兩垂直
如圖,以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz
則D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),
A(2,0,0),C(0,2,0)
由題知PD⊥平面ABCD
又因為AC平面ABCD,所以AC⊥PD,
又AC⊥BD,PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD,所以平面PBD的法向量是
設平面PBC的法向量 =(x,y,z),
由于 ,
則 ,所以
令z=1,得 =(0,1,1)
則cos< >= = = ,
由圖可知求二面角C﹣PB﹣D的平面角為銳角,
所以二面角C﹣PB﹣D的大小為60o
【解析】(Ⅰ)連接AC交BD于點O,連接EO,推導出EO∥PA,由此能證明PA∥平面EDB.(Ⅱ)由題意知DA,DC,DP兩兩垂直,以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz,利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的大。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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【題目】如圖,在五面體 中,四邊形 是邊長為 的正方形, 平面 , , , , .
(1)求證: 平面 ;
(2)求直線 與平面 所成角的正切值.
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【題目】某圓拱橋的示意圖如圖所示,該圓拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造時,每隔3 m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長.(精確到0.01 m)
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分別是AD,BE的中點,將三角形ADE沿AE折起,則下列說法正確的是________(填序號).
①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi)),都有MN∥平面DEC;②不論D折至何位置,都有MN⊥AE;③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi)),都有MN∥AB;④在折起過程中,一定存在某個位置,使EC⊥AD.
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【題目】已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的非負半軸重合.曲線 (t為參數(shù)),曲線C2的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ. (Ⅰ)將曲線C1 , C2分別化為普通方程、直角坐標方程,并說明表示什么曲線;
(Ⅱ)設F(1,0),曲線C1與曲線C2相交于不同的兩點A,B,求|AF|+|BF|的值.
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【題目】若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a、b∈R)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[﹣1,﹣1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】△ABC的三個頂點分別為A(0,4)、B(-2,6)、C(-8,0).
(1)分別求邊AC和AB所在直線的方程;
(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程;
(3)求AC邊的中垂線所在直線的方程;
(4)求AC邊上的高所在直線的方程;
(5)求經(jīng)過兩邊AB和AC的中點的直線方程.
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【題目】如圖,橢圓E的左右頂點分別為A、B,左右焦點分別為F1、F2 , |AB|=4,|F1F2|=2 ,直線y=kx+m(k>0)交橢圓于C、D兩點,與線段F1F2及橢圓短軸分別交于M、N兩點(M、N不重合),且|CM|=|DN|.
(Ⅰ)求橢圓E的離心率;
(Ⅱ)若m>0,設直線AD、BC的斜率分別為k1、k2 , 求 的取值范圍.
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