Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+λ，其中λ為實數(shù)，λ≠0且λ≠-1，n∈N₊．
（1）求證：當(dāng)λ=1時，求證：{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)λ=1時，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）利用反證法結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進(jìn)行推理證明即可．

解答： 解：（1）當(dāng)λ=1時，a_n+1=2a_n+λ=2a_n+1，
即a_n+1+1=2（a_n+1），即

an+1+1

an+1

=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
（2）反證法：
假設(shè){a_n}是等比數(shù)列，則a22=a₁•a₃，
∵a₁=1，a₂=2+λ，a₃=3λ+4，
∴滿足（2+λ）²=3λ+4，
即λ²+λ=0，
解得λ=0或λ=-1，與條件λ≠0且λ≠-1矛盾，
故假設(shè)錯誤，
故數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的證明，利用構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．證明等比數(shù)列的過程中使用了反證法．