【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=2,E為PB的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱PC上,且PF=λPC.
(1)求直線CE與直線PD所成角的余弦值;
(2)當(dāng)直線BF與平面CDE所成的角最大時(shí),求此時(shí)λ的值.
【答案】
(1)解:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(1,1,0)、P(0,0,2)、D(1,0,0)、E(0, ,1),
=(﹣1,﹣ ,1), =(1,0,﹣2),
∴cos< , >= = =﹣ ,
∴CE與PD所成角的余弦值為
(2)解:點(diǎn)F在棱PC上,且PF=λPC,∴ ,
∴F(λ,λ,﹣2λ), =(λ,λ﹣1,2﹣2λ),
又 =(0,﹣1,0), =(﹣1,﹣ ,1).
設(shè) 為平面CDE的法向量,
則 ,取x=1,得 =(1,0,1)
設(shè)直線BF與平面CDE所成的角為θ,
則sinθ=|cos< , >|= = ,
令t=2﹣λ,則t∈[1,2],∴sinθ= = ,
當(dāng) ,即t= ∈[1,2]時(shí), 有最小值 ,此時(shí)sinθ取得最大值為 ,
即BF與平面CDE所成的角最大,此時(shí) = ,即λ的值為
【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出CE與PD所成角的余弦值.(2)求出平面CDE的法向量,利用向量法能求出λ的值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角,需要了解異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B 兩點(diǎn),則“k=1”是“△OAB的面積為 ”的( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分又不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , ,若 ,且S11=143,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 且滿足 .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及數(shù)列 的前n項(xiàng)和Mn
(2)是否存在非零實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有甲乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的列聯(lián)表.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計(jì) | 105 |
已知在全部105人中隨機(jī)抽取一人為優(yōu)秀的概率為.
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按97.5%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”;
(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào),先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào).試求抽到10或11號(hào)的概率.
參考公式和數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】動(dòng)點(diǎn)在拋物線上,過(guò)點(diǎn)作垂直于軸,垂足為,設(shè).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn),直線的斜率分別為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),它的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,當(dāng)x≤1時(shí),f(x)=2xe﹣x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(2+3ln2)的值為( )
A.48ln2
B.40ln2
C.32ln2
D.24ln2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形,B,E,F(xiàn)分別是AA1 , CC1的中點(diǎn),且BE⊥B1F.
(1)求證:B1F⊥EC1;
(2)求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a、b、c三個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列,則直線bx+ay+c=0與拋物線 的相交弦中點(diǎn)的軌跡方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)y=f(x)在∈(m,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若,則當(dāng)x∈[m,m+1]時(shí),函數(shù)y= f(x)的圖象是否總在函數(shù)圖象上方?請(qǐng)寫出判斷過(guò)程.
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