Question

(2007北京西城模擬)設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列的集合：

①；②，其中，M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．

(1)若是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，．

證明：；

(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，且．求M的取值范圍；

(3)設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且．

證明：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差是d，則，， 解得，d=－2．所以．由 得，適合條件①； 又， 所以當(dāng)n=4或5時(shí)，取得最大值20，即，適合條件②．綜上，． (2)因?yàn)?/FONT>． 所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減； 當(dāng)n=1，2時(shí)，， 即， 因此數(shù)列中的最大項(xiàng)是， 所以． (3)假設(shè)存在正整數(shù)k， 使得成立． 由數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得，即． 因?yàn)?/FONT>， 所以． 由及， 得， 故． 因?yàn)?/FONT>， 所以．… 依此類推，可得． 設(shè)，則當(dāng)m=P時(shí)，有， 這顯然與數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾！ 所以假設(shè)不成立，即對(duì)于任意，都有成立．