Question

（08年新建二中五模理） 設(shè)函數(shù)其中常數(shù)為整數(shù).

　 ⑴當(dāng)為何值時,；

　 ⑵定理：若函數(shù)在上連續(xù),且與異號,則至少存在一點,使.

     試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)時,方程,在內(nèi)有兩個實根.

Answer 1

解析:（１）函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù)，且

．

當(dāng)x∈(-m,1-m)時,　，f(x)為減函數(shù),　f(x)>f(1-m)；

當(dāng)x∈(1-m, +∞)時,　 ，f(x)為增函數(shù),　f(x)>f(1-m)．

根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且

對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m，故當(dāng)整數(shù)m≤1時，f(x) ≥1-m≥0．

(２)由（I）知，當(dāng)整數(shù)m>1時，f(1-m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù)．

，

由所給定理知，存在唯一的，而當(dāng)整數(shù)m>1時，

類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的，

故當(dāng)m>1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根．