Question

（2013•揭陽一模）如圖（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一簡單組合體ABCDEF如圖（2）示，已知M，N，P分別為AF，BD，EF的中點．
（1）求證：MN∥平面BCF；
（2）求證：AP⊥DE；
（3）當AD多長時，平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角為60°？

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接AC．利用矩形的性質(zhì)可得N為AC的中點，利用三角形的中位線定理可得MN∥CF，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的判定定理可得AD⊥平面ABFE，得到AD⊥AP；利用平行四邊形的判定和性質(zhì)可得AP=BF，利用勾股定理的逆定理可得AP⊥AE，利用線面垂直的判定定理
可得AP⊥平面ADE．進而得到結(jié)論．
（3）解法一：如圖所示，通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出二面角，解出即可；
解法二：點A作AK⊥DE交DE于K點，連結(jié)PK，則DE⊥PK，可得∠AKP為二面角A-DE-F的平面角，利用直角三角形的邊角關系即可得出．

解答：（1）證明：如圖1，連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，N為BD中點，
∴N為AC中點，
在△ACF中，M為AF中點，故MN∥CF．
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，
∴MN∥平面BCF；
（2）證明：由題意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE，
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P為EF中點，∴FP=AB=2

2

，
又AB∥EF，可得四邊形ABFP是平行四邊形．
∴AP∥BF，AP=BF=2．
∴AP²+AE²=PE²，∴∠PAE=90°，∴PA⊥AE．
又AD∩AE=A，∴AP⊥平面ADE．
∵DE?平面ADE，∴AP⊥DE．
（3）解法一：如圖2，分別以AP，AE，AD所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系
設AD=m（m＞0），則A（0，0，0），D（0，0，m），E（0，2，0），P（2，0，0）．
∴

DE

=(0，2，-m)，

PE

=(-2，2，0)．
可知平面ADE的一個法向量為

AP

=(2，0，0)，
設平面DEF的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • DE =2y-mz=0 n • PE =-2x+2y=0

，令x=1，則y=1，z=

2

m

．
故

n

=(1，1，

2

m

)．
∴cos＜

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP || n |

=

2

2 2+ 4 m2

，
由題意得，

2

2 2+ 4 m2

=

1

2

=cos60°，解得m=

2

，
即AD=

2

時，平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角為60°．
解法二：過點A作AK⊥DE交DE于K點，連結(jié)PK，則DE⊥PK，∴∠AKP為二面角A-DE-F的平面角，
由∠AKP=60°，AP=BF=2得AK=

AP

tan60°

=

2 3

3

，
又AD•AE=AK•DE得2AD=

2 3

3

•

22+AD2

，
解得AD=

2

，即AD=

2

時，平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角為60°．

點評：熟練掌握利用矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理、通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角公式得出二面角的方法、利用二面角的定義作出二面角、直角三角形的邊角關系等是解題的關鍵．