如圖PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=PD=a,M,N分別是AB,PC的中點.
(1)求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大小;
(2)求證:平面MND⊥平面PCD;
(3)當AB的長度變化時,求異面直線PC與AD所成角的范圍.
解:(1)PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴PD⊥CD 故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 在Rt△PAD中,PA⊥AD,PA=AD,∴∠PDA=45°; (2)取PD中點E,連AE,EN,又M,N分別是AB,PC的中點, ∴ ∴AMNE是平行四邊形 ∴MN∥AE 在等腰Rt△PAD中,AE是斜邊的中線 ∴AE⊥PD 又CD⊥AD,CD⊥PD,∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AE,又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD; (3)∵AD∥BC 所以∠PCB為異面直線PC,AD所成的角 由三垂線定理知PB⊥BC,設(shè)AB=x(x>0) ∴ ,∴tan∠PCB∈(1,+∞), 又∠PCB為銳角,∴ 即異面直線PC,AD所成的角的范圍為. |
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π | 2 |
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