精英家教網(wǎng)如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=4,E是△BCD內(nèi)部任意一點(diǎn),AE與BD交于點(diǎn)F,則
AF
BF
的最小值是
 
分析:根據(jù)已知條件,設(shè)
AF
=t
AB
+(1-t)
AD
,0<t<1,則
BF
=
AF
-
AB
=(1-t)(
AD
-
AB
),由此利用配方法能求出
AF
BF
的最小值.
解答:解:∵在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=4,
AB
AD
=|
AB
|×|
AD
|×cos60°=4×4×
1
2
=8,
|
AB
|2 
=|
AD
|2
=16,
設(shè)
AF
=t
AB
+(1-t)
AD
,0<t<1,
BF
=
AF
-
AB
=(1-t)(
AD
-
AB
),
AF
BF
=(1-t)[t
AB
+(1-t)
AD
](
AD
-
AB

=(1-t)[(1-t)
AD
2
-t
AB
2
+(2t-1)
AB
AD
]
=(1-t)[16(1-2t)+8(2t-1)]
=16(1-t)(
1
2
-t)
=16(t-
3
4
2-1≥-1,
AF
BF
的最小值是-1.
故答案為:-1.
點(diǎn)評:本題考查向量數(shù)量積的最小值的求法,是中檔題,解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=2,E、F分別是AB與PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PC⊥BD;
(Ⅱ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅲ)求二面角P-EC-D的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在菱形ABCD中,MA⊥平面ABCD,且四邊形ADNM是平行四邊形.
(1)求證:AC⊥BN;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB的什么位置時,使得AN∥平面MEC,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AB的中點(diǎn),MA⊥平面ABCD,且在矩形ADNM中,AD=2,AM=
3
7
7

(1)求證:AC⊥BN;
(2)求證:AN∥平面MEC;
(3)求二面角M-EC-D的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•大豐市一模)如圖,在菱形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),且DE⊥AB.
(1)求∠ABD的度數(shù);
(2)若菱形的邊長為2,求菱形的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,點(diǎn)N為CD中點(diǎn),PA⊥平面ABCD.
(I)求證:CD⊥平面PAN;
(II)若點(diǎn)M為PC中點(diǎn),AB=1,PA=
3
,求直線AM與平面PCD所成角的正弦值.

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