【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評,根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:

(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人,估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.

【答案】解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖知:分?jǐn)?shù)小于70的頻率為:1﹣(0.04+0.02)×10=0.4
故從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人,估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率為0.4;
(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,
故樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率為:0.05,
則分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的頻率為:1﹣(0.04+0.02+0.02+0.01)×10﹣0.05=0.05,
估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為400×0.05=20人,
(Ⅲ)樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為:0.6,
由于樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.
故分?jǐn)?shù)不小于70的男生的頻率為:0.3,
由樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,
故男生的頻率為:0.6,
即女生的頻率為:0.4,
即總體中男生和女生人數(shù)的比例約為:3:2.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)頻率=組距×高,可得分?jǐn)?shù)小于70的概率為:1﹣(0.04+0.02)×10;
(Ⅱ)先計算樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率,進而計算分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的頻率,可估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.進而得到答案.
【考點精析】通過靈活運用頻率分布直方圖和用樣本的頻率分布估計總體分布,掌握頻率分布表和頻率分布直方圖,是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式,可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息,又可以利用圖形傳遞信息;樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖,是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況,并由此估計總體的分布情況即可以解答此題.

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