Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和半徑，由直線l不過原點(diǎn)，得到該直線在坐標(biāo)軸上的截距不為0，設(shè)出直線l的截距式方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于圓的半徑列出關(guān)于a的方程，求出方程的解可得到a的值，確定出直線l的方程；
（2）由切線的性質(zhì)，得到三角形PCM為直角三角形，利用勾股定理得到|PC|²=|PM|²+r²，表示出|PM|²，由|PM|=|PO|，進(jìn)而得到|PO|²，由設(shè)出的P的坐標(biāo)和原點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PO|，可得出|PO|²，兩者相等，化簡可得點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：（1）將圓C配方得（x+1）²+（y-2）²=2．
由題意知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零，設(shè)直線方程為x+y-a=0，
由

|-1+2-a|

2

=

2

，得|a-1|=2，即a=-1，或a=3．
∴直線方程為x+y+1=0，或x+y-3=0；…（6分）
（2）由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，
∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²．
∴2x-4y+3=0即為所求．…（12分）

點(diǎn)評：此題考查了圓的切線方程，以及動點(diǎn)的軌跡方程，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的截距式方程，切線的性質(zhì)，勾股定理以及兩點(diǎn)間的距離公式，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用切線長，圓的半徑及圓心到圓外點(diǎn)的距離構(gòu)造直角三角形來解決問題．