如圖，已知點A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點，若點C(
3
2
，
3
2
)在橢圓上，且滿足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O為坐標原點）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點M，N，當
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)時，求△OMN面積的最大值．
（Ⅰ）∵點C(
3
2
，
3
2
)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，
∴
3
4a2
+
3
4b2
=1，
∵
OC
•
OA
=
3
2
，
∴
3
2
a=
3
2
，解得a=3，∴b=1．
∴橢圓的方程為
x2
3
+y2=1．
（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2），
∵
OM
+
ON
=m
OC
，
∴
x1+x2=
3
2
m
y1+y2=
3
2
m
，
x12
3
+
y12
1
=1
x22
3
+
y22
1
=1
⇒
(x1+x2)(x1-x2)
3
+(y1+y2)(y1-y2)=0⇒
y1-y2
x1-x2
=-
1
3

設直線l：y=-
1
3
x+n，
由
y=-
1
3
x+n
x2
3
+
y2
1
=1
，得：4y2-6ny+3n2-1=0
則y1+y2=
3n
2
y1y2=
3n2-1
4
，
∴|MN|=
(1+9)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
10(1-
3
4
n2)
，
點O到直線l的距離d=
|3n|
10
，
∴S=
1
2
•
10
2
•
4-3n2
•
3
10
•|n|
=
3
4
•
3n2(4-3n2)

≤
3
4
•
3n2+4-3n2
2
=
3
2
．
當且僅當3n2=4-3n2，n=±
6
3
．
∵m∈（0，2），∴m=
2
．
∴當m=
2
時，△OMN面積的最大值為
3
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

己知斜率為1的直線l與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1，3）．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|•|BF|=17，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
x且過點M（1，
2
）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
2
+y2=1和圓C2：x2+y2=1，左頂點和下頂點分別為A，B，且F是橢圓C1的右焦點．
（1）若點P是曲線C2上位于第二象限的一點，且△APF的面積為
1
2
+
2
4
，求證：AP⊥OP；
（2）點M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動點，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，求證：直線MN恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知定點A（2，2），M在拋物線x2=4y上，M在拋物線準線上的射影是P點，則MP-MA的最大值為（　�。�
A．1B．
5
C．
7
D．5-2
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左、右頂點分別為A、B，橢圓C的右焦點為F，
過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為
10
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設Q（t，m）是直線x=9上的點，直線QA、QB與橢圓C分別交于點M、N，求證：直線MN必過x軸上的一定點，并求出此定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知動圓過定點D（1，0），且與直線l：x=-1相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C；
（2）過定點D（1，0）作直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D點關于坐標原點O的對稱點，求證：∠AED=∠BED．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
2
3
3
，且過點P（
6
，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（O為坐標原點），求實數(shù)k的取值范圍．

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