Question

已知圓心為C的圓經過點A（0，1）和B（-2，3），且圓心在直線l：x+2y-3=0上．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若圓C的切線在x軸，y軸上的截距相等，求切線的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓C過A和B兩點，得到線段AB為圓C的弦，故圓心C一定在弦AB的垂直平分線上，由A和B的坐標求出直線AB的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由直線AB的斜率求出線段AB垂直平分線的斜率，再利用中點坐標公式求出線段AB的中點坐標，由中點坐標和求出的斜率寫出線段AB垂直平分線的方程，與直線l聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到兩直線的交點坐標，即為圓心C的坐標，利用兩點間的距離公式求出|AC|的長，即為圓C的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓C的標準方程即可；
（2）分兩種情況考慮：當與坐標軸的截距為0時，設切線方程的斜率為k，得到切線方程為y=kx，根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而確定出切線的方程；當與坐標軸的截距不為0時，根據(jù)圓C的切線在x與y軸上的截距相等，設出圓C的切線方程為x+y=b，根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，進而確定出切線的方程，綜上，得到所有滿足題意的切線方程．

解答：解：（1）由題意可知AB為圓C的弦，其垂直平分線過圓心C，
∵A（0，1）和B（-2，3），
∴k_直線AB=

3-1

-2-0

=-1，
∴線段AB垂直平分線的斜率為1，
又線段AB的中點坐標為（

0+(-2)

2

，

1+3

2

），即（-1，2），
∴線段AB的垂直平分線的方程為：y-2=x+1，即x-y+3=0，
又圓心在直線l：x+2y-3=0上，
聯(lián)立得：

x-y+3=0 x+2y-3=0

，
解得：

x=-1 y=2

，即圓心C坐標為（-1，2），
∴圓C的半徑|AC|=

12+(-1)2

=

2

，
則圓C的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2；
（2）若直線過原點，設切線的斜率為k，
∴切線方程為y=kx，即kx-y=0，
∴圓心C到切線的距離d=

|-k-2|

1+k2

=r=

2

，
整理得：k²-4k-2=0，
解得：k=2+

6

或k=2-

6

，
∴所求切線的方程為：y=（2+

6

）x或y=（2-

6

）x；
若截距b≠0，根據(jù)題意設圓的切線方程為：x+y=b，
∴圓心C到切線的距離d=

|b-1|

2

=r=

2

，
解得：b=3或b=-1，
∴所求切線的方程為：x+y-3=0或x+y+1=0，
綜上，所有滿足題意的切線方程有4條，分別為y=（2+

6

）x或y=（2-

6

）x或x+y-3=0或x+y+1=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，兩直線垂直時斜率滿足的關系，線段的中點坐標，直線的點斜式方程，兩直線的交點坐標，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，以及直線的截距式方程，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題第二問的關鍵．