Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E為PD的中點，PA=2AB=2。

(1)求證：CE∥平面PAB;

(2)求四面體PACE的體積.

 

Answer 1

(1)詳見解析；(2)

【解析】

試題分析：(1)要證CE∥平面PAB，可以轉(zhuǎn)換為證明，而要證明又可轉(zhuǎn)化為與（另外也可以轉(zhuǎn)化為線線平行） ；(2)要求四面體PACE的體積，可轉(zhuǎn)換頂點求以E為頂點PAC為底面的三棱錐的體積.

試題解析：(1)法一：取AD得中點M，連接EM,CM.

則EM//PA 1分

因為

所以， 2分

在中，

所以，

而,所以,MC//AB. 3分

因為

所以， 4分

又因為

所以，

因為 6分

法二： 延長DC,AB,交于N點，連接PN. 1分

因為

所以，C為ND的中點. 3分

因為E為PD的中點，所以，EC//PN

因為

6分

（2）法一：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 7分

因為，，所以， 8分

又因為

所以， 10分

因為E是PD的中點

所以點E平面PAC的距離 ，

所以，四面體PACE的體積 12分

法二：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=

因為，

所以， 10分

因為E是PD的中點

所以，四面體PACE的體積 12分

考點：(1)空間位置關系的證明；（2）三棱錐求體積.