【題目】已知點(diǎn)P( ,1)和橢圓C: + =1.
(1)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 試求△PF1F2的周長(zhǎng)及橢圓的離心率;
(2)若直線l: x﹣2y+m=0(m≠0)與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1 , k2 , 求證:k1+k2=0.
【答案】
(1)解:橢圓C: + =1的a=2,b= ,c= = ,
點(diǎn)P( ,1)在橢圓C上,由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=2a=4,
△PF1F2的周長(zhǎng)為2a+2c=4+2 ;
橢圓的離心率為e= = ;
(2)證明:聯(lián)立直線 x﹣2y+m=0和橢圓x2+2y2=4,
可得4x2+2 mx+m2﹣8=0,
由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且直線不過(guò)點(diǎn)P,
可得△=8m2﹣4×4(m2﹣8)>0,且m≠0,
解得﹣4<m<0或0<m<4.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=﹣ m,x1x2= ,
y1= ,y2= ,
則k1+k2= + = +
= + + = +
= + = ﹣ =0.
【解析】(1)求得橢圓的a,b,c,可得P在橢圓上,運(yùn)用橢圓的定義,即可得到△PF1F2的周長(zhǎng)和橢圓的離心率;(2)聯(lián)立直線和橢圓方程,可得x的二次方程,運(yùn)用判別式大于0,以及韋達(dá)定理,結(jié)合直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,即可得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 且|F1F2|=2,點(diǎn)(1, )在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且△AF2B的面積為 ,求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3 , S9 , S6成等差數(shù)列. (Ⅰ)求證:a2 , a8 , a5成等差數(shù)列;
(Ⅱ)若等差數(shù)列{bn}滿足b1=a2=1,b3=a5 , 求數(shù)列{an3bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形 為菱形,四邊形 為平行四邊形,設(shè) 與 相交于點(diǎn) , .
(1)證明:平面 平面 ;
(2)若 ,求三棱錐 的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】斜率為 的直線l與橢圓 + =1(a>b>0)交于不同的兩點(diǎn)A、B.若點(diǎn)A、B在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).
(1)求橢圓的離心率;
(2)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),若△PAB面積最大值是4 ,求該橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出以下四個(gè)結(jié)論: ①函數(shù) 的對(duì)稱中心是(﹣1,2);
②若關(guān)于x的方程 沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是k≥2;
③在△ABC中,“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的充分不必要條件;
④若 的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位后為奇函數(shù),則φ最小值是 .
其中正確的結(jié)論是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓E:x2+(y﹣ )2= 經(jīng)過(guò)橢圓C: + =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)F1 , F2 , 且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A,且F1 , E,A三點(diǎn)共線,直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且 =λ (λ≠0)
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)三角形AMN的面積取得最大值時(shí),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別是a,b,c,且 a= b cosC+c sinB. (Ⅰ)求角B 的大小;
(Ⅱ)若點(diǎn)M 為BC的中點(diǎn),且 AM=AC,求sin∠BAC.
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