Question

設(shè)點(diǎn)O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)M在直線l:x=-p(p＞0)上移動,動點(diǎn)N在線段MO的延長線上,且滿點(diǎn)|MN|=|MO|·|NO|.

(1)求動點(diǎn)N的軌跡方程;

(2)當(dāng)p=1時,求|MN|的最小值.

Answer 1

解：(1)過N作NN′垂直x軸于N′,設(shè)直線l與x軸交于M′.

設(shè)N(x,y)(x＞0),則N′(x,0),M′(-p,0),

∵M、O、N三點(diǎn)共線,

∴

由

∵x＞0,p＞0,將上式整理化簡為

(p²-1)x²+p²y²-2px-p²=0(x＞0).

(2)當(dāng)p=1時,N點(diǎn)軌跡為y²=2x+1(x＞0),

設(shè)N(x,y),M(-1,t).

由M、O、N共線,

得∴M(-1,-).

則|MN|=

=x++2≥2+2=4.

當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時,等式成立.

∴當(dāng)x=1時,|MN|最小值為4.

綠色通道：

本題關(guān)鍵在于能否建立合理的等式,再將等式轉(zhuǎn)化為用動點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)來表示,即可求得動點(diǎn)的軌跡方程.