Question

（2011•寧德模擬）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標xoy中，曲線C的參數方程為

x=1+t2 y=2t2+1

（t為參數），若圓P在以該直角坐標系的原點O為極點、x軸的正半軸為極軸的極坐標系下的方程為ρ²-4ρcos+3=0
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和圓P的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點A是曲線C上的動點，點B是圓P上的動點，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由參數方程直接求出曲線C的普通方程和利用極坐標方程直接轉化為圓P的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點A是曲線C上的動點，點B是圓P上的動點，求|AB|的最小值可轉化為求|PA|的最小值．
求|AB|的最小值．

解答：
解：（Ⅰ）曲線C

x=1+t2 y=2t2+1

，消去參數t后，解得它的直角坐標方程為2x-y-1=0（x≥1），
因為ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，所以ρ²-4ρcosθ+3=0的直角坐標方程為（x-2）²+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）過圓心P作射線2x-y-1=0（x≥1）的垂線，垂足E在該射線的反向延長線上，
當點A在射線的端點時，|PA|=

(2-1)2+(0-1)2

=

2

，
此時|EA|的長最小，故此時|PA|取最小值．
所以所求的最短距離為

2

-1．…（7分）

點評：本題主要考查直線和圓的參數方程及極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力及化歸與轉化思想．