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【題目】如圖，已知面垂直于圓柱底面， 為底面直徑， 是底面圓周上異于的一點， .求證:

（1）平面平面；

（2）求幾何體的最大體積.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）證明兩個平面垂直，應用兩面垂直的判定定理，在其中一個面內找一條直線與另一個面垂直。由為底面直徑， 是底面圓周上異于的一點，可得。由面垂直于圓柱底面，可得平面，因為平面，所以。因為, 平面, 平面，再由直線與平面垂直的判定定理可得平面.又因為平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面. （2）要求幾何體的最大體積，應先把幾何體的體積表示出來，轉化為求函數的最值問題。該幾何體是三棱錐，其體積為底面積與高的乘積三分之一，因為平面，所以是三棱錐的高。因為為底面直徑，且，故可設，在中, 。所以三棱錐的體積為

，因為為常數4，所以可由基本不等式求其最大值 .

試題解析:（1）證明：∵是底面圓周上異于的任意一點，且是圓柱底面圓的直徑，∴，

∵平面， 平面，∴

∵, 平面, 平面

∴平面.又平面，

∴平面平面.

（2）設，在中, ，

∵平面，∴是三棱錐的高

因此，三棱錐的體積為

.當且僅當，即時，三棱錐的體積取最大值。

∴當，即時，三棱錐的體積的最大值為.

練習冊系列答案
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線的極坐標方程為，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為的正半軸，建立平面直角坐標系.

（1）若曲線為參數）與曲線相交于兩點，求；

（2）若是曲線上的動點，且點的直角坐標為，求的最大值.

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A. B. C. D.

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（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

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【題目】已知函數 ．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，求最大的整數，使得時，函數圖象上的點都在

所表示的平面區(qū)域內（含邊界）.

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【題目】有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在范圍內（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在內為優(yōu)質品，現從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數據整理如下：

（1）根據以上統(tǒng)計數據完成下面列聯(lián)表，并回答是否有以上的把握認為“桔柚直徑與所在基地有關”？

（2）求優(yōu)質品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數 (同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表)；

（3）記甲基地直徑在范圍內的五個桔柚分別為，現從中任取二個，求含桔柚的概率.

附： ， .

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，且點到橢圓上任意一點的最大距離為3，橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于、兩點，與橢圓相交于、，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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【題目】2017年6月深圳地鐵總公司對深圳地鐵1號線30個站的工作人員的服務態(tài)度進行了滿意度調查，其中世界之窗、白石洲、高新園、深大、桃園、大新6個站的得分情況如下：

地鐵站

世界之窗

白石州

高新園

深大

桃園

大新

滿意度得分

70

76

72

70

72

x

已知6個站的平均得分為75分.

（1）求大新站的滿意度得分x，及這6個站滿意度得分的標準差；

（2）從表中前5個站中，隨機地選2個站，求恰有1個站得分在區(qū)間（68，75）中的概率．

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