Question

三角形ABC的頂點(diǎn)A（1，7），B（-4，2），重心G(

2

3

，

14

3

)．
（1）求三角形ABC的面積；
（2）求三角形ABC外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由三角形的重心坐標(biāo)公式，列式算出點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，5），從而得到向量

AC

、

AB

的坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可算出三角形ABC的面積；
（2）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A、B、C的坐標(biāo)可得關(guān)于D、E、F的方程組，解出D、E、F的值，即可得到△ABC外接圓的方程．

解答：解：（1）∵A（1，7），B（-4，2），重心G(

2

3

，

14

3

)．
∴設(shè)C的坐標(biāo)為（m，n），由重心坐標(biāo)公式可得

1

3

（1-4+m）=

2

3

，

1

3

（7+2+n）=

14

3

，解之得m=n=5，得點(diǎn)C（5，5），
∴

AB

=(-5，-5)，

AC

=(4，-2)，
因此，三角形ABC的面積為S=

1

2

|(-5)×(-2)-(-5)×4|=15
（2）設(shè)三角形ABC外接圓為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，
得

1+49+D+7E+F=0 16+4-4D+2E+F=0 25+25+5D+5E+F=0

，解之得

D=-2 E=-4 F=-20

，
∴三角形ABC的外接圓方程為x²+y²-2x-4y-20=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)和重心坐標(biāo)，求三角形的面積并求外接圓的方程．著重考查了三角形的重心坐標(biāo)公式、三角形面積公式和圓的一般方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．