【題目】某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽,第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個(gè)問(wèn)題,規(guī)則如下:
①每位參加者記分器的初始分均為10分,答對(duì)問(wèn)題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分,答錯(cuò)任一題減2分;
②每回答一題,記分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù),當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí),答題結(jié)束,淘汰出局;當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí),答題結(jié)束,進(jìn)入下一輪;當(dāng)答完四題,累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí),答題結(jié)束,淘汰出局;
③每位參加者按問(wèn)題A、B、C、D順序作答,直至答題結(jié)束.
假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題A、B、C、D回答正確的概率依次為、、、,且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.
(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率;
(2)用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Εξ.
【答案】(1);(2) 分布列見(jiàn)解析,期望為
【解析】
(1)根據(jù)題意,列舉甲能進(jìn)入下一輪的五種情況,由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立,根據(jù)相互對(duì)立事件和互斥事件的概率公式,得到結(jié)果;
(2)喲圖一可知答對(duì)一個(gè)題或答錯(cuò)一個(gè)題都不能決定你甲的去留,所以最少答兩個(gè)題,隨機(jī)變量可能的取值為,由于每題的答題結(jié)構(gòu)都是相對(duì)獨(dú)立的,根據(jù)相互對(duì)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果.
設(shè)分別是第一、二、三、四個(gè)問(wèn)題,用表示甲同學(xué)第個(gè)問(wèn)題回答正確,用表示第個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤,則是對(duì)立事件,
由題意得,,
則,
(1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q,
則
.
(2)由題意,可知隨機(jī)變量可能的取值,
由于每題答題結(jié)果都是相對(duì)對(duì)立的,
因?yàn)?/span>,
,
2 | 3 | 4 | |
|
|
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),單調(diào)遞增,,若對(duì)任意,存在,使得成立,則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若,則下列四個(gè)命題:①是在上的“追逐函數(shù)”;②若是在上的“追逐函數(shù)”,則;③是在上的“追逐函數(shù)”;④當(dāng)時(shí),存在,使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是拋物線上的一點(diǎn),拋物線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求的方程;
(2)已知過(guò)點(diǎn)的兩條不重合直線,的斜率之積為,且直線,分別交拋物線于,兩點(diǎn)和,兩點(diǎn).是否存在常數(shù)使得成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ADEF為正方形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=2BC=2.
(1)證明:平面ADEF⊥平面ABF.
(2)若平面ADEF⊥平面ABCD,二面角A-BC-E為30°,三棱錐A-BDF的外接球的球心為O,求異面直線OC與DF所成角的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從一批蘋(píng)果中,隨機(jī)抽取50個(gè),其重量(單位:克)的頻數(shù)分布表如下:
分組(重量) | ||||
頻數(shù)(個(gè)) | 5 | 10 | 20 | 15 |
(1) 根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋(píng)果的重量在的頻率;
(2) 用分層抽樣的方法從重量在和的蘋(píng)果中共抽取4個(gè),其中重量在的有幾個(gè)?
(3) 在(2)中抽出的4個(gè)蘋(píng)果中,任取2個(gè),求重量在和中各有1個(gè)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為了了解民眾對(duì)開(kāi)展創(chuàng)建文明城市工作以來(lái)的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了40名群眾,并將他們隨機(jī)分成,兩組,每組20人,組群眾給第一階段的創(chuàng)文工作評(píng)分,組群眾給第二階段的創(chuàng)文工作評(píng)分,根據(jù)兩組群眾的評(píng)分繪制了如圖所示的莖葉圖.
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖比較群眾對(duì)兩個(gè)階段的創(chuàng)文工作滿意度評(píng)分的平均值和集中程度(不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)完成下面的列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否有的把握認(rèn)為民眾對(duì)兩個(gè)階段創(chuàng)文工作的滿意度存在差異?
低于70分 | 不低于70分 | 合計(jì) | |
第一階段 | |||
第二階段 | |||
合計(jì) |
參考公式:,.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)且時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,為邊的中點(diǎn),沿將折起,點(diǎn)折至處(平面),若為線段的中點(diǎn),則在折起過(guò)程中,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.始終有平面
B.不存在某個(gè)位置,使得面
C.點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)
D.一定存在某個(gè)位置,使得異面直線與所成角為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(b+c)tanC=﹣ctanA.
(1)求A;
(2)若b,c=2,點(diǎn)D在BC邊上,且AD=BD,求AD的長(zhǎng).
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