Question

【題目】邊長為1的正三角形，、分別是邊、上的點，若，，其中，設(shè)的中點為，中點為.

（1）若、、三點共線，求證：；

（2）若，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為.

【解析】

(1)利用共線向量基本定理得,根據(jù)三角形的中線對應(yīng)的向量等于相鄰兩邊對應(yīng)的向量的和的一半,將已知條件代入得到要證的結(jié)論;

(2)利用向量的運算法則:三角形減法法則的逆運算將用三角形的邊對應(yīng)的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,將表示為的二次函數(shù),求出二次函數(shù)的最小值.

(1)由三點共線,得共線,

根據(jù)共線向量定理可得,存在使得,

即,

所以,

根據(jù)平面向量基本定理可得,

所以.

(2)因為,

又,所以,

因為三角形是邊長為1的正三角形,所以,,

所以

,

所以時,取得最小值.