Question

如圖，A，B，C是三個(gè)汽車站，AC，BE是直線型公路．已知AB=120km，∠BAC=75°，∠ABC=45°．有一輛車（稱甲車）以每小時(shí)96（km）的速度往返于車站A，C之間，到達(dá)車站后停留10分鐘；另有一輛車（稱乙車）以每小時(shí)120（km）的速度從車站B開往另一個(gè)城市E，途經(jīng)車站C，并在車站C也停留10分鐘．已知早上8點(diǎn)時(shí)甲車從車站A、乙車從車站B同時(shí)開出．
（1）計(jì)算A，C兩站距離，及B，C兩站距離；
（2）若甲、乙兩車上各有一名旅客需要交換到對方汽車上，問能否在車站C處利用停留時(shí)間交換．
（3）求10點(diǎn)時(shí)甲、乙兩車的距離．
（參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.4，

3

≈1.7，

6

≈2.4，

331

≈18.2）

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，∠ACB=60°，利用

AB

sin60°

=

BC

sin75°

=

AC

sin45°

，可求A、C，B、C兩站距離；
（2）先分別求甲車從車站A開到車站C，乙車從車站B開到車站C的時(shí)間，從而可確定兩名旅客能否在車站C處利用停留時(shí)間交換；
（3）先求10點(diǎn)時(shí)甲車離開C站的距離為，乙車離開C站的距離，再利用余弦定理求兩車的距離．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ACB=60°．∵

AB

sin60°

=

BC

sin75°

=

AC

sin45°

，
∴AC=

120sin45°

sin60°

=

120× 2 2

3 2

=40

6

≈96(km)，BC=

120sin75°

sin60°

=

120× 6 + 2 4

3 2

=60

2

+20

6

≈132(km)．
（2）甲車從車站A開到車站C約用時(shí)間為

96

96

=1（小時(shí)）=60（分鐘），即9點(diǎn)到C站，至9點(diǎn)零10分開出．
乙車從車站B開到車站C約用時(shí)間為

132

120

=1.1（小時(shí)）=66（分鐘），即9點(diǎn)零6分到站，9點(diǎn)零16分開出．
則兩名旅客可在9點(diǎn)零6分到10分這段時(shí)間內(nèi)交換到對方汽車上．
（3）10點(diǎn)時(shí)甲車離開C站的距離為

50

60

×96=80(km)，乙車離開C站的距離為

44

60

×120=88(km)，
兩車的距離等于

802+882-2×80×88×cos120°

=8

100+121+110

=8

331

≈8×18.2=145.6(km)

點(diǎn)評：本題主要考查利用正弦、余弦定理解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是構(gòu)建三角形，確定邊角關(guān)系．