Question

在ΔABC中，頂點(diǎn)A,B, C所對三邊分別是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差數(shù)列.
(I )求頂點(diǎn)A的軌跡方程；
(II) 設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡與直線y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，如果存在過點(diǎn)P(0,-)的直線l,使得點(diǎn)M、N關(guān)于l對稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

Answer 1

（1）（2）當(dāng)k=0時(shí)，m的取值范圍為；
當(dāng)k≠0時(shí)，m的取值范圍為()．

(I ) 且b,a, c成等差數(shù)列結(jié)合橢圓的定義求得軌跡方程；(II)將y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，判別式大于0，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱，得k、m的關(guān)系
解：（I）由題知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由橢圓定義知，頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除去左右頂點(diǎn)），
且其長半軸長為2，半焦距為1，于是短半軸長為．
∴ 頂點(diǎn)A的軌跡方程為．………………………………4分
（II）由
消去y整理得(3+4k²)x²+8kmx+4(m²-3)=0．∴  Δ=(8km)²-4(3+4k²)×4(m²-3)>0，
整理得：4k²>m²-3．①令M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則 
設(shè)MN的中點(diǎn)P(x₀，y₀)，則
，…………………7分
i)當(dāng)k=0時(shí)，由題知，．……………………………8分
ii)當(dāng)k≠0時(shí)，直線l方程為，由P(x₀，y₀)在直線l上，得，得2m=3+4k²．②把②式代入①中可得2m-3>m²-3，解得0<m<2.又由②得2m-3=4k²>0，解得．∴ ．驗(yàn)證：當(dāng)(-2，0)在y=kx+m上時(shí)，得m=2k代入②得4k²-4k+3=0，k無解．即y=kx+m不會(huì)過橢圓左頂點(diǎn).同理可驗(yàn)證y=kx+m不過右頂點(diǎn)．∴ m的取值范圍為()．………11分
綜上，當(dāng)k=0時(shí)，m的取值范圍為；當(dāng)k≠0時(shí)，m的取值范圍為()．