Question

拋物線C的方程為y=ax²(a＜0),過拋物線C上一點P(x₀,y₀)(x₀≠0)作斜率分別為k₁、k₂的兩條直線交拋物線C于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點(P、A、B三點互不相同),且滿足k₂+λk₁=0(λ≠0且λ≠-1).

(1)求拋物線C的焦點坐標和準線方程;

(2)設(shè)直線AB上一點M滿足=λ,證明線段PM的中點在y軸上;

(3)當(dāng)λ=1時,若點P的坐標為(1,-1),求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍.

Answer 1

(1)解：由拋物線C的方程y=ax²(a＜0＝,得焦點坐標為(0,),準線方程為y=-.

(2)證明：設(shè)直線PA的方程為y-y₀=k₁(x-x₀),直線PB的方程為y-y₀=k₂(x-x₀).

    點P(x₀,y₀)和點A(x₁,y₁)的坐標是方程組

的解,將（2）代入（1）得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0,于是x₁+x₀=,x₁=-x₀                (3)

    又點P(x₀,y₀)和點B(x₂,y₂)的坐標是方程組

的解.將（5）代入（4）得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0,于是x₂+x₀=,x₂=-x₀.（6）

    由已知k₂=-λk₁,

    則x₂=--x₀.

    設(shè)點M的坐標為(x_M,y_M),由=λ,則

x_M===-x₀.∴x_M+x₀=0,即線段PM的中點在y軸上.

(3)解：∵點P(1,-1)在拋物線y=ax²上,∴a=-1,拋物線的方程為y=-x².

    由（3）式知x₁=-k₁-1,代入y=-x²得y₁=-(k₁+1)².

    將λ=1代入（6）式得x₂=k₁-1,代入y=-x²得y₂=-(k₁-1)².

∴A(-k₁-1,-k₁²-2k₁-1)、B(k₁-1,-k₁²+2k₁-1).

    于是=(k₁+2,k₁²+2k₁),

=(2k₁,4k₁).

·=2k₁(k₁+2)+4k₁(k₁²+2k₁)=2k₁(k₁+2)(2k₁+1).

∵∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同,故·＜0,即2k₁(k₁+2)(2k₁+1)＜0.

∴k₁＜-2或-＜k₁＜0.

    又點A的縱坐標y₁滿足y₁=-(k₁+1)²,故

    當(dāng)k₁＜-2時,y₁＜-1;

    當(dāng)-＜k₁＜0時,-1＜y₁＜-.

∴∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍為(-∞,-1)∪(-1,-).