已知拋物線C的方程為y=x2，過（0，1）點的直線l與C相交于點A，B，證明：OA⊥OB（O為坐標原點）
分析：由題意設(shè)出直線l的方程，和拋物線聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由韋達定理得到A，B兩點的橫坐標的積，
代入x1x2+y1y2中整理得到結(jié)果為0，所以結(jié)論得證．
解答：證明：由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)其斜率為k，則直線方程為：y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立，得
y=kx+1
y=x2
，即x2-kx-1=0，所以x1x2=-1．
設(shè)交點A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），
由OA⊥OB?x1x2+y1y2=0?x1x2+x12x22=0?x1x2+1=0
由韋達定理可知此式成立．
所以O(shè)A⊥OB．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，求證該題的關(guān)鍵是明確
OA⊥OB?x1x2+y1y2=0，是中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0），直線：x+y=m與x軸的交點在拋物線C準線的右側(cè)．
（Ⅰ）求證：直線與拋物線C恒有兩個不同交點；
（Ⅱ）已知定點A（1，0），若直線與拋物線C的交點為Q，R，滿足
AQ
•
AR
=0，是否存在實數(shù)m，使得原點O到直線的距離不大于
2
4
，若存在，求出正實數(shù)p的取值范圍；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•合肥三模）已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），過拋物線上點M（-2
p
，p）作△MAB，A、B兩均在拋物線上．過M作x軸的平行線，交拋物線于點N．
（I）若MN平分∠AMB，求證：直線AB的斜率為定值；
（II）若直線AB的斜率為
p
，且點N到直線MA，MB的距離的和為4p，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），焦點F為 （0，1），點P（x1，y1）是拋物線上的任意一點，過點P作拋物線的切線交拋物線的準線l于點A（s，t）．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若x1∈[1，4]，求s的取值范圍．
（3）過點A作拋物線C的另一條切線AQ，其中Q（x2，y2）為切點，試問直線PQ是否恒過定點，若是，求出定點；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0且p為常數(shù)），過焦點F作直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）
①求證：4x1x2=p2
②若拋物線C的準線l與x軸交于N點且AB⊥AN，求|x1-x2|

查看答案和解析>>

同步練習冊答案