【題目】正四面體是側(cè)棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F，G分別是棱AB，BC，CD的中點.

（1）求證：面EFG；

（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接EF，FG，GE，通過三角形的中位線可得，進而可得面EFG；

（2）由題可得為異面直線EG與AC所成角，根據(jù)正四棱錐的特點得到為等腰直角三角形，進而可得結(jié)果.

解：（1）連接EF，FG，GE，如圖，

E，F分別是棱AB，BC的中點，

，又面EFG，面EFG，

面EFG；

（2）由（1），則為異面直線EG與AC所成角，

AC與BD是正四面體的對棱，

，又，

，

又 ，

為等腰直角三角形，

，

即異面直線EG與AC所成角的大小為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了改善市民的生活環(huán)境，長沙某大型工業(yè)城市決定對長沙市的1萬家中小型化工企業(yè)進行污染情況摸排，并出臺相應的整治措施．通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì)，周邊空氣質(zhì)量等的檢驗，把污染情況綜合折算成標準分100分，發(fā)現(xiàn)長沙市的這些化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N（50，162），分值越低，說明污染越嚴重；如果分值在［50，60］內(nèi)，可以認為該企業(yè)治污水平基本達標．

（Ⅰ）如圖為長沙市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的頻率分布直方圖，請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值，并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達標；

（Ⅱ）大量調(diào)査表明，如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn)，那么標準分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元．長沙市決定關停80％的標準分低于18分的化工企業(yè)和60％的標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有多少？

（附：若隨機變量，則， ，）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓

（1）求橢圓的標準方程和離心率；

（2）是否存在過點的直線與橢圓相交于，兩點，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義平面向量的一種運算：（是向量和的夾角），則下列命題：

①；②；③若且，則；其中真命題的序號是___________________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為矩形， 為等腰三角形， ，平面平面，且， ， 分別為的中點.

（1）證明： 平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市有一面積為12000平方米的三角形地塊，其中邊長為200米，現(xiàn)計劃建一個如圖所示的長方形停車場，停車場的四個頂點都在的三條邊上，其余的地面全部綠化.若建停車場的費用為180元/平方米，綠化的費用為60元/平方米，設米，建設工程的總費用為元.

（1）求關于的函數(shù)表達式：

（2）求停車場面積最大時的值，并求此時的工程總費用.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1， ＝9a2a6.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從，，等8人中選出5人排成一排.

（1）必須在內(nèi)，有多少種排法？

（2），，三人不全在內(nèi)，有多少種排法？

（3），，都在內(nèi)，且，必須相鄰，與，都不相鄰，都多少種排法？

（4）不允許站排頭和排尾，不允許站在中間（第三位），有多少種排法？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年籃球世界杯在中國舉行，中國男籃由于主場作戰(zhàn)而備受觀眾矚目.為了調(diào)查國人對中國男籃能否進入十六強持有的態(tài)度，調(diào)查人員隨機抽取了男性觀眾與女性觀眾各100名進行調(diào)查，所得情況如下表所示：

男性觀眾

女性觀眾

認為中國男籃能夠進入十六強

60

認為中國男籃不能進入十六強

若在被抽查的200名觀眾中隨機抽取1人，抽到認為中國男籃不能進入十六強的女性觀眾的概率為.

（1）完善上述表格；

（2）是否有99%的把握認為性別與對中國男籃能否進入十六強持有的態(tài)度有關？

附：，其中.

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