解法一:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).
∵M為線段AB的中點(diǎn),
∴A的坐標(biāo)為(2x,0),B的坐標(biāo)為(0,2y).
∵l1⊥l2,且l1、l2過點(diǎn)P(2,4),
∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.
而,
,∴.
整理,得x+2y-5=0(x≠1)
∵當(dāng)x=1時(shí),A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,4),
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),它滿足方程 x+2y-5=0.
綜上所述,點(diǎn)M的軌跡方程是x+2y-5=0.
解法二:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)、(0,2y),連結(jié)PM.
∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.
而,
,
∴,
化簡,得x+2y-5=0,為所求軌跡方程.
解法三:∵l1⊥l2,OA⊥OB,
∴O、A、P、B四點(diǎn)共圓,且該圓的圓心為M.
∴|MP|=|MO|.
∴點(diǎn)M的軌跡為線段OP的中垂線.
∵,OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),
∴點(diǎn)M的軌跡方程是y-2=(x-1),
即x+2y-5=0.
啟示:在平面直角坐標(biāo)系中,遇到垂直問題,常利用斜率之積等于-1解題,但需注意斜率是否存在,即往往需要討論,如解法一.求軌跡方程有時(shí)利用平面幾何知識更為方便快捷
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)經(jīng)過圓心C,切點(diǎn)A、B這三點(diǎn)的圓的方程;?
(2)直線AB的方程;?
(3)線段AB的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A點(diǎn),
l2 交y軸于B點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
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