【題目】如圖,五面體ABCDE中,四邊形ABDE是菱形,△ABC是邊長為2的正三角形,∠DBA=60°,
(1)證明:DC⊥AB;
(2)若點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影H,求CH與平面BCD所成的角的正弦值.

【答案】
(1)證明:如圖,取AB的中點(diǎn)O,連OC,OD,

因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的正三角形,所以 ,

又四邊形ABDE是菱形,∠DBA=60°,所以△DAB是正三角形,

所以 ,

而OD∩OC=O,所以AB⊥平面DOC,

所以AB⊥CD.


(2)解:由(1)知OC=CD,平面DOC⊥平面ABD,

因?yàn)槠矫鍰OC與平面ABD的交線為OD,

所以點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影H必在OD上,

所以H是OD的中點(diǎn),

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz, ,

所以 , , ,

設(shè)平面BDC的法向量為 ,則 ,取 ,則x=3,z=1,

即平面BCD的一個(gè)法向量為

所以CH與平面BCD所成的角的正弦值為 =


【解析】(1)取AB的中點(diǎn)O,連OC,OD,證明:AB⊥平面DOC,即可證明DC⊥AB;(2)若點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影H,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量方法求CH與平面BCD所成的角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

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