Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的左焦點F（-c，0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長FE交拋物線y²=4cx于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：雙曲線的右焦點的坐標(biāo)為（c，0），利用O為FF'的中點，E為FP的中點，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求|PF|，再設(shè)P（x，y），由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．

解答： 解：設(shè)雙曲線的右焦點為F'，則F'的坐標(biāo)為（c，0）
拋物線為y²=4cx，則F'為拋物線的焦點，
由O為FF'的中點，E為FP的中點，
則OE為△PFF'的中位線，
即有OE∥PF'，|OE|=

1

2

|PF'|，
由EF為圓x²+y²=a²的切線，
則|OE|=a，則|PF'|=2a，
設(shè)P（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，
∴x=2a-c，y²=4c（2a-c），
又PF'⊥PF，|FF'|=2c，
由勾股定理得，y²+4a²+4a²=4c²，
即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，
∴e=

5 +1

2

．
故答案為：

5 +1

2

．

點評：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的定義，考查直線和圓相切的條件，以及中位線定理的運用，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．