【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+1,g(x)=2alnx+1(a∈R)
(1)求函數(shù)h(x)=f(x)g(x)的極值;
(2)當a=e時,是否存在實數(shù)k,m,使得不等式g(x)≤ kx+m ≤f(x)恒成立?若存在,請求實數(shù)k,m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)求導,分類討論,根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得極值;
(2)當時,由,當且僅當時,取等號,由 ,則 時,與有公切線,切線方程,即可求得實數(shù) 的值.
解:(1)h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2alnx,x>0
所以 h′(x)=
當a≤0,h′(x)>0,此時h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值。-
當a>0時,由h′(x)>0,即x2﹣a>0,解得:a>或x<﹣(舍去)
由h′(x)<0,即x2﹣a<0,解得:0<x<-
∴h(x)在(0,)單調(diào)遞減,在(,+∞)單調(diào)遞增
∴h(x)的極小值為h()=a﹣2aln=a﹣alna,無極大值;
(2)當a=e時,由(1)知
h()=h()=e﹣elne=0
∴f(x)﹣g(x)≥0, 也即 f(x)≥g(x),當且僅當時,取等號;
以為切點,
f′()=g′()
所以y=f(x)與y=g(x)有公切線,切線方程y=2x+1﹣e
構(gòu)造函數(shù) ,顯然
構(gòu)造函數(shù)
由 解得 ,由 解得
所以在上遞減,在上遞增-
,即有
從而 ,此時-
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為預防病毒爆發(fā),某生物技術公司研制出一種新流感疫苗,為測試該疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于%,則認為測試沒有通過),公司選定個流感樣本分成三組,測試結(jié)果如下表:
組 | 組 | 組 | |
疫苗有效 | |||
疫苗無效 |
已知在全體樣本中隨機抽取個,抽到組疫苗有效的概率是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取個測試結(jié)果,問應在組抽取多少個?
(Ⅲ)已知,,求不能通過測試的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為保證學生夜晚安全,實行教師值夜班制度,已知共5名教師每周一到周五都要值一次夜班,每周如此,且沒有兩人同時值夜班,周六和周日不值夜班,若昨天值夜班,從今天起至少連續(xù)4天不值夜班, 周四值夜班,則今天是周___________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若曲線與直線滿足:①與在某點處相切;②曲線在附近位于直線的異側(cè),則稱曲線與直線“切過”.下列曲線和直線中,“切過”的有________.(填寫相應的編號)
①與 ②與 ③與
④與 ⑤與
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【題目】某高三理科班共有60名同學參加某次考試,從中隨機挑選出5名同學,他們的數(shù)學成績與物理成績如下表:
數(shù)學成績 | 145 | 130 | 120 | 105 | 100 |
物理成績 | 110 | 90 | 102 | 78 | 70 |
數(shù)據(jù)表明與之間有較強的線性關系.
(I)求關于的線性回歸方程;
(II)該班一名同學的數(shù)學成績?yōu)?10分,利用(I)中的回歸方程,估計該同學的物理成績;
(III)本次考試中,規(guī)定數(shù)學成績達到125分為優(yōu)秀,物理成績達到100分為優(yōu)秀. 若
該班數(shù)學優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為50%和60%,且除去抽走的5名同學外,剩下的同學中數(shù)學優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學共有5人,在答卷頁上填寫下面2×2列聯(lián)表,判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為數(shù)學優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關?
物理優(yōu)秀 | 物理不優(yōu)秀 | 合計 | |
數(shù)學優(yōu)秀 | |||
數(shù)學不優(yōu)秀 | |||
合計 | 60 |
參考數(shù)據(jù):回歸直線的系數(shù)
,,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若關于的不等式的解集為,求實數(shù)的值;
(2)設,若不等式對任意實數(shù)都成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設,解關于的不等式組
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)在處取得極值,求實數(shù)的值;
(2)在(1)的結(jié)論下,若關于的不等式,當時恒成立,求的值;
(3)令,若關于的方程在內(nèi)至少有兩個解,求出實數(shù)的取值范圍。
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