Question

正三棱錐S-ABC的側棱長為2，側面等腰三角形的頂角為30°，過底面頂點作截面△AMN交側棱SB、SC分別于M、N兩點，則△AMN周長的最小值是

 

．

Answer 1

分析：沿著側棱SA把正三棱錐展開在同一個平面內，原來的點A被分到兩處A、A^′，則線段 AA^′ 的長度即為△AMN周長的最小值．利用勾股定理求出線段 AA^′ 的長度．

解答：解：沿著側棱SA把正三棱錐展開在同一個平面內，原來的點A被分到兩處A、A^′，
則線段 AA^′ 的長度即為△AMN周長的最小值．
△S AA^′ 中，SA=SA^′=2，∠ASA^′=3×30°=90°，
∴AA^′=

SA2+SA′2

=

4+4

=2

2

，
故答案為2

2

．

點評：本題考查棱錐的展開圖的性質，勾股定理得應用，體現了轉化的數學思想．