精英家教網(wǎng)如圖,正三棱錐S-ABC中,底面的邊長是3,棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍,M是BC的中點.
求:(1)
AMSM
的值;
(2)二面角S-BC-A的大。
(3)正三棱錐S-ABC的體積.
分析:(1)證明知,AM與SM分別是同底的兩個三角形的高,故兩線段長度的比即它們相應(yīng)三角形面積的比,由棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍,三個側(cè)面面積相等,易得兩三角形的面積比.
(2)由(1)知,角SMA即二面角S-BC-A的平面角,故在三角形SMA中求解即可;
(3)由圖形及(1)(2)的證明直接求出底面積與高用體積公式求體積即可求得體積.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵SB=SC,AB=AC,M為BC的中點,
∴SM⊥BC,AM⊥BC.
由棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍,即
1
2
BC×SM=2×
1
2
BC×AM,得
AM
SM
=
3
2

(2)作正三棱錐的高SG,
則G為正三角形ABC的中心,G在AM上,GM=
1
3
AM.
∵SM⊥BC,AM⊥BC,
∴∠SMA是二面角S-BC-A的平面角.
在Rt△SGM中,
∵SM=
2
3
AM=
2
3
×3GM=2GM,
∴∠SMA=∠SMG=60°,
即二面角S-BC-A的大小為60°.
(3)∵△ABC的邊長是3,
∴AM=
3
3
2
,GM=
3
2
,SG=GMtan60°=
3
2
3
=
3
2

∴VS-ABC=
1
3
S△ABC•SG=
1
3
9
3
4
3
2
=
9
3
8
點評:本題的考點是棱柱、棱錐、棱臺的體積,考查根據(jù)幾何體的幾何特征求二面角,求體積的能力,立體幾何中求體積的題,其求解規(guī)律都是先研究幾何體的形狀,再根據(jù)幾何特征選擇求解的公式.故研究其幾何特征是正確求解的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,正三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與底面ABC所成的二面角等于α,動點P在側(cè)面SAB內(nèi),PQ⊥底面ABC,垂足為Q,PQ=PS•sinα,則動點P的軌跡為( 。
A、線段B、圓C、一段圓弧D、一段拋物線

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A、2
B、3
C、2
3
D、3
3

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如圖,過正三棱錐S—ABC的側(cè)棱SB與底面中心O作截面SBD,已知截面是等腰三角形,則側(cè)面與底面所成角的余弦值為(    )

A.                                   B.

C.                         D.

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