Question

已知：數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求：a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求：數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足b_n=na_n，（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，
令n=1，解得a₁=1；
令n=2，解得a₂=3 …（2分）
（Ⅱ）∵S_n=2a_n-n，
所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2）
兩式相減得 a_n=2a_n-1+1 …（4分）
所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2）…（5分）
又因為a₁+1=2
所以數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列 …（6分）
所以，即通項公式 …（7分）
（Ⅲ）∵b_n=na_n，
所以
所以+…+（n•2ⁿ-n）
…（9分）
令 ①
②
①-②得
= …（11分）
∴=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹ …（12分）
所以 …（13分）
分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-n，分別令n=1，2可求a₁，a₂，
（Ⅱ）由S_n=2a_n-n，可知S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2），兩式相減可得 a_n與a_n-1的關系，構造等比數(shù)列即可求解a_n+1，然后求出a_n
（Ⅲ）由b_n=na_n，結合 數(shù)列的特點可利用分組求和，然后利用等差數(shù)列的求和及錯位相減求和即可
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，分組求和方法及錯位相減求和方法的綜合應用．