Question

已知：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a₁=1，當(dāng)n∈N⁺時(shí)，S_n=a_n-n-1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；
（3）已知

lim

n→∞

an

an+1+(a+1)n

=

1

2

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a₁=1，當(dāng)n∈N⁺時(shí)，S_n=a_n-n-1，可求得a₂，a₃，a₄；
（2）猜想an=2n-1，再用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證成立；假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥1）時(shí)結(jié)論成立，即ak=2k-1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有s_k=a_k+1-k-1；s_k-1=a_k-（k-1）-1，兩式相減即可證得；
（3）

lim

n→∞

an

an+1+(a+1)n

=

1

2

，即

lim

n→∞

2n-1

2n+1-1+(a+1)n

=

1

2

，進(jìn)而可得

lim

n→∞

(

a+1

2

)n=0，從而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a₁=1，當(dāng)n∈N⁺時(shí)，S_n=a_n-n-1
∴S₂=a₂-3，∴a₂=3；S₃=a₃-4，∴a₃=7；S₄=a₄-5，∴a₄=15
（2）猜想an=2n-1
證明：當(dāng)n=1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證成立
假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥1）時(shí)結(jié)論成立，即ak=2k-1
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有s_k=a_k+1-k-1；s_k-1=a_k-（k-1）-1，
兩式相減得到a_k=a_k+1-a_k-1，∴a_k+1=2a_k+1，∴ak+1=2(2k-1)+1=2k+1-1
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立      
綜上所述：an=2n-1
（3）

lim

n→∞

an

an+1+(a+1)n

=

1

2

，即

lim

n→∞

2n-1

2n+1-1+(a+1)n

=

1

2

則

lim

n→∞

1- 1 2n

2- 1 2n +( a+1 2 )n

=

1

2

，得到

lim

n→∞

(

a+1

2

)n=0
∴|

a+1

2

|＜1
∴-3＜a＜-1

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查數(shù)列的極限，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明方法是關(guān)鍵．