【題目】在數(shù)列{an}中,a1= ,且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n﹣1倍(n∈N*).
(1)寫出此數(shù)列的前5項(xiàng);
(2)歸納猜想{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【答案】
(1)解:由已知 , =(2n﹣1)an,分別取n=2,3,4,5,

, ,

所以數(shù)列的前5項(xiàng)是: , , ,


(2)解:由(1)中的分析可以猜想 (n∈N*).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=1時(shí),猜想顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí)猜想成立,即

那么由已知,得 ,

即a1+a2+a3+…+ak=(2k2+3k)ak+1.所以(2k2﹣k)ak=(2k2+3k)ak+1,

即(2k﹣1)ak=(2k+3)ak+1,又由歸納假設(shè),得

所以 ,即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.

綜上①和②知,對(duì)一切n∈N*,都有 成立


【解析】(1)利用數(shù)列{an}前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n﹣1倍,推出關(guān)系式,通過n=2,3,4,5求出此數(shù)列的前5項(xiàng);(2)通過(1)歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.第一步驗(yàn)證n=1成立;第二步,假設(shè)n=k猜想成立,然后證明n=k+1時(shí)猜想也成立.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解數(shù)學(xué)歸納法的定義(數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法).

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