Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面PAD；

（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）要證明線面平行，關(guān)鍵是證明線線平行，所以取中點(diǎn)，連結(jié)，，根據(jù)條件證明；

（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，可證明平面，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用兩個(gè)平面的法向量求二面角的余弦值.

證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，．

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，．

因?yàn)?/span>，．所以且．

所以四邊形為平行四邊形，所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面．

（2）取中點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，平面，

所以平面．取中點(diǎn)，連結(jié)，則．

以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，

，．

平面的法向量，

設(shè)平面的法向量，

由，得．

令，則，．

由圖可知，二面角是銳二面角，

所以二面角的余弦值為．