【題目】若數(shù)列同時滿足：①對于任意的正整數(shù)， 恒成立；②對于給定的正整數(shù)， 對于任意的正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.

（1）已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知數(shù)列是“數(shù)列”，且存在整數(shù)，使得， ， ， 成等差數(shù)列，證明： 是等差數(shù)列.

【答案】（1）是（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義驗證兩個條件是否成立，由于函數(shù)為分段函數(shù)，所以分奇偶分別驗證（2）根據(jù)定義數(shù)列隔項成等差，再根據(jù)單調(diào)性確定公差相等，最后求各項通項，根據(jù)通項關系得數(shù)列通項，根據(jù)等差數(shù)列證結論

試題解析：（1）當為奇數(shù)時， ，所以.

.

當為偶數(shù)時， ，所以.

.

所以，數(shù)列是“數(shù)列”.

（2）由題意可得： ，

則數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設其公差為，

數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設其公差為，

數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設其公差為.

因為，所以，

所以，

所以①，②.

若，則當時，①不成立；

若，則當時，②不成立；

若，則①和②都成立，所以.

同理得： ，所以，記.

設 ，

則

.

同理可得： ，所以.

所以是等差數(shù)列.

【另解】 ，

，

，

以上三式相加可得： ，所以，

所以 ，

，

，

所以，所以，

所以，數(shù)列是等差數(shù)列.

練習冊系列答案
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【題目】已知圓的標準方程為，圓心為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，，切點分別為，．

（1）若，試求點的坐標；

（2）若點的坐標為，過作直線與圓交于兩點，當時，求直線的方程；

（3）求證：經(jīng)過，，三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

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【題目】從數(shù)列中取出部分項組成的數(shù)列稱為數(shù)列的“子數(shù)列”.

（1）若等差數(shù)列的公差，其子數(shù)列恰為等比數(shù)列，其中，，，求；

（2）若，，判斷數(shù)列是否為的“子數(shù)列”，并證明你的結論.

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【題目】市政府招商引資，為吸引外商，決定第一個月產(chǎn)品免稅，某外資廠該第一個月A型產(chǎn)品出廠價為每件10元，月銷售量為6萬件；第二個月，當?shù)卣_始對該商品征收稅率為 ，即銷售1元要征收元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價就上升到每件元，預計月銷售量將減少p萬件.

（1）將第二個月政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

（2）要使第二個月該廠的稅收不少于1萬元，則p的范圍是多少？

（3）在第（2）問的前提下，要讓廠家本月獲得最大銷售金額，則p應為多少？

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【題目】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，，

（I）證明：平面平面；

（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積.

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【題目】如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(管道構成Rt△FHE，H是直角項點)來處理污水．管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，記∠BHE＝．

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為的函數(shù)，并寫出定義域；

（2）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度L．

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【題目】如圖，橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，直線與直線交于點P，，求直線的斜率．

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【題目】有一塊多邊形的花園，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是如圖所示的直角梯形，其中，米，，則這塊花園的面積為______平方米.

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