Question

【題目】已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，．

（1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)作直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）求證：經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或；（3）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題（1）點(diǎn)在直線上，設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性可知，可得，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)．（2）分析可知直線的斜率一定存在，設(shè)其方程為：．由已知分析可得圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到線的距離公式可求得的值．（3）由題意知，即．所以過(guò)三點(diǎn)的圓必以為直徑．設(shè)，從而可得圓的方程，根據(jù)的任意性可求得此圓所過(guò)定點(diǎn)．

試題解析：解：（1）直線的方程為，點(diǎn)在直線上，設(shè)，

由題可知，所以，

解之得：故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

（2）易知直線的斜率一定存在，設(shè)其方程為：，

由題知圓心到直線的距離為，所以，

解得，或，

故所求直線的方程為：或．

（3）設(shè)，則的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>是圓的切線，

所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓是以為圓心，以為半徑的圓，

故其方程為：

化簡(jiǎn)得：，此式是關(guān)于的恒等式，

故解得或

所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)或．