Question

選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)L的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線(xiàn)L交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，

5

），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

5

sinθ，可得 x²+y²=2

5

y，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
（Ⅱ）把直線(xiàn)L的參數(shù)方程代入圓的方程化簡(jiǎn)，求得判別式△=2＞0，可得 t₁+t₂=3

2

，t₁•t₂=4．再由直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，

5

），結(jié)合t的幾何意義可得，|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂ 的值．

解答：解：（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

5

sinθ，可得 ρ²=2

5

ρsinθ，
故有 x²+y²=2

5

y，即 x²+y²-2

5

y=0，即 x²+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）把直線(xiàn)L的參數(shù)方程

x=3- 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數(shù)），代入圓的方程化簡(jiǎn)可得
t²-3

2

t+4=0，求得判別式△=2＞0，設(shè)t₁、t₂是方程的兩個(gè)根，
可得 t₁+t₂=3

2

，t₁•t₂=4．
再由直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，

5

），結(jié)合t的幾何意義可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．