A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E,∠BAC的平分線與BC
交于點D.求證:ED2=EB•EC.
B.選修4-2:矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在以O為極點的極坐標系中,直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ,直線l與曲線C交于點.A,B,C,求線段AB的長.
D.選修4-5:不等式選講
對于實數(shù)x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-y+1|的最大值.
分析:A.由弦切角定理,得∠CAE=∠CBA,結合AD是∠BAC的平分線和三角形的外角定理,得EA=ED.最后根據(jù)切割線定理結合等量代換,得ED2=EB•EC.
B.根據(jù)公式列出f(λ)=0,可解出兩個特征值λ1=7,λ2=-2.再結合條件,列出特征向量滿足的方程組,將解出的x、y值變成列矩陣,即可得到屬于這兩個特征值特征向量.
C.將直線l與曲線C的極坐標方程化成直角坐標方程,聯(lián)解可得交點分別為A(1,-2)和B(9,6),最后用平面內兩點之間的距離公式,可算出線段AB的長.
D.以x-1和y-2為基本量,利用絕對值三角不等式可得|x-y+1|≤|x-1|+|y-2|,結合已知條件不難得到|x-y+1|的最大值.
解答:解:A.∵EA是圓的切線,AC為過切點A的弦,∴∠CAE=∠CBA.
又∵AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠CAD
∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
∴△EAD是等腰三角形,得EA=ED.
又∵EA2=EC•EB,∴ED2=EB•EC.
B.由題意,得f(λ)=(λ+1)(λ-6)-8=λ2-5λ-14=(λ-7)(λ+2)
由f(λ)=0,得λ1=7,λ2=-2
根據(jù)
(7+1)x-4y=0
-2x+(7-6)y=0
,可得
x=1
y=2
,所以屬于λ1=7的一個特征向量為
1 
2 

根據(jù)
(-2+1)x-4y=0
-2x+(-2-6)y=0
,可得
x=4
y=-1
,所以屬于λ2=-2的一個特征向量為
4 
-1 


C、ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
化簡,得ρcosθ-ρsinθ=3
∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,∴直線l的直角坐標方程為x-y-3=0
同理,拋物線ρsin2θ=4cosθ化成直角坐標方程y2=4x
將直線方程與拋物線方程聯(lián)解,得
x=1
y=-2
x=9
y=6

∴直線與拋物線交于點A(1,-2)和B(9,6)
由兩點的距離公式,得線段AB的長為
(1-9)2+(-2-6)2
=8
2

D、∵|x-1|≤1,|y-2|≤1,
∴|x-y+1|=|(x-1)-(y-2)|≤|x-1|+|y-2|≤1+1=2,
故|x-y+1|的最大值為2,當且僅當 x=2,y=3,或x=0,y=1時取等號.
點評:本題主要考查了簡單曲線的極坐標方程、特征值與特征向量的計算、與圓有關的比例線段和絕對值三角不等式等知識,考查了同學們對理科選修知識的掌握,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網A(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,AB是⊙O的直徑,C,F(xiàn)是⊙O上的兩點,OC⊥AB,過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D,連接CF交AB于點E.
求證:DE2=DB•DA.
B(選修4-2:矩陣與變換)
求矩陣
21
12
的特征值及對應的特征向量.
C(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ,直線l的參數(shù)方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
(t為參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;
(Ⅱ)設直線l與x軸的交點是M,N是曲線C上一動點,求MN的最大值.
D(選修4-5:不等式選講)
已知m>0,a,b∈R,求證:(
a+mb
1+m
)2
a2+mb2
1+m

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選做題:在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共20分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,PA切⊙O于點A,D為PA的中點,過點D引割線交⊙O于B、C兩點.求證:∠DPB=∠DCP.
B.選修4-2:矩陣與變換
設M=
.
10
02
.
,N=
.
1
2
0
01
.
,試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t為參數(shù)),求直線l被圓C所截得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

A)選修4-1:幾何證明選講
如圖,⊙O的割線PAB交⊙O于A,B兩點,割線PCD經過圓心交⊙O于C,D兩點,若PA=2,AB=4,PO=5,則⊙O的半徑長為
13
13


(B)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
參數(shù)方程
x=
1
2
(et+e-t)
y=
1
2
(et-e-t)
中當t為參數(shù)時,化為普通方程為
x2-y2=1(x≥1)
x2-y2=1(x≥1)

(C)選修4-5:不等式選講
不等式|2-x|+|x+1|≤a對于任意x∈[0,5]恒成立的實數(shù)a的集合為
{a|a≥9}
{a|a≥9}

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.
請在答卷紙指定區(qū)域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講如圖,AD是∠BAC的平分線,⊙O過點A且與BC邊相切于點D,與AB,AC分別交于E,F(xiàn),求證:EF∥BC.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知a,b∈R,若矩陣M=[
-1
b
a
3
]所對應的變換把直線l:2x-y=3變換為自身,求a,b的值.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
t為參數(shù))化為普通方程.
D.選修4-5:已知a,b是正數(shù),求證(a+
1
b
)(2b+
1
2a
)≥92.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

從A,B,C,D四個中選做2個A.選修4-1(幾何證明選講)
如圖,AB是半圓的直徑,C是AB延長線上一點,CD切半圓于點D,CD=2,DE⊥AB,垂足為E,且E是OB的中點,求BC的長.
B.選修4-2(矩陣與變換)
將曲線xy=1繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°,求所得曲線的方程.
C.選修4-4(坐標系與參數(shù)方程)
求直線
x=1+2t
y=1-2t
(t為參數(shù))被圓
x=3cosa
y=3sina
(α為參數(shù))截得的弦長.
D.選修4-5(不等式選講)
已知x,y均為正數(shù),且x>y,求證:2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3

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