Question

規(guī)定其中，為正整數(shù)，且=1，這是排列數(shù)(是正整數(shù)，)的一種推廣．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ）排列數(shù)的兩個性質(zhì)：①，②(其中m，n是正整數(shù))．是否都能推廣到(，是正整數(shù))的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
(Ⅲ）已知函數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

（1）-990
（2）①，②()
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，即函數(shù)有且只有兩個零點(diǎn).

試題分析：解：（Ⅰ）
（Ⅱ）性質(zhì)①、②均可推廣，推廣的形式分別是①，②()
證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；
當(dāng)時(shí)，左邊

因此，()成立.
②當(dāng)時(shí)，左邊右邊，等式成立；
當(dāng)時(shí)，左邊



=右邊
因此，()成立.
(Ⅲ）
設(shè)函數(shù)，
則函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)等價(jià)于函數(shù)與公共點(diǎn)的個數(shù).
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令，得

	-	0	+
	減		增

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)與沒有公共點(diǎn)，即函數(shù)不存在零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有一個公共點(diǎn)，即函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有兩個公共點(diǎn)，即函數(shù)有且只有兩個零點(diǎn).
點(diǎn)評：主要是考查了函數(shù)零點(diǎn)的求解以及組合數(shù)和排列數(shù)公式的運(yùn)用，屬于中檔題。