【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。

證明:(1)直線EE//平面FCC;

(2)求二面角B-FC-C的余弦值。

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】試題分析:1以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得設(shè)平面CC1F的法向量為, ,由得直線EE//平面FCC;
2)通過建立空間直角坐標(biāo)系,先求出兩個(gè)平面的法向量,則兩個(gè)平面的法向量的夾角即為兩平面的二面角或其補(bǔ)角.

試題解析:

解法(1)因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點(diǎn),

所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因?yàn)锳BCD為

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點(diǎn)M,

連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,則D(0,0,0),A(,-1,0,F,1,0,C0,2,0,

C10,2,2,E,,0,E1,-1,1),所以

,,

設(shè)平面CC1F的法向量為所以,則,所以,所以直線EE//平面FCC.

2,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則,

,,

所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.

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