Question

【題目】已知函數(shù)；

（1）若，求證： 在上單調(diào)遞增；

（2）若，試討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有零點(diǎn)； 時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）時(shí)， ， ，要證在上單調(diào)遞增，只要證： 對(duì)恒成立，只需證明（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）． （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即可證明；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分 討論，即可判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

試題解析：（1）時(shí)， ， ，

要證在上單調(diào)遞增，只要證： 對(duì)恒成立，

令，則，當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

令，則，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，故在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

在上單調(diào)遞增.

（2）由有，顯然是增函數(shù)，

令，得， ， ，

則時(shí)， ， 時(shí)， ，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴有極小值， ，

①當(dāng)時(shí)， ， ， 有一個(gè)零點(diǎn)1；

②時(shí)， ， ， 沒(méi)有零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)， ， ，又，

又對(duì)于函數(shù)， 時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)， ，即，

∴ ，

令，則，

∵，∴，∴，∴，

又， ，∴有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有零點(diǎn)； 時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn).