(2012•豐臺(tái)區(qū)一模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且asinB-bcosC=ccosB.
(Ⅰ)判斷△ABC的形狀;
(Ⅱ)若f(x)=
1
2
cos2x-
2
3
cosx+
1
2
,求f(A)的取值范圍.
分析:(Ⅰ)法1:利用正弦定理化簡已知的等式,整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形,根據(jù)sinA不為0,可得出sinB=1,利用特殊角的三角函數(shù)值得到B為直角,即可判斷出三角形ABC為直角三角形;
法2:利用余弦定理化簡已知的等式,整理后根據(jù)a不為0,得到sinB=1,利用特殊角的三角函數(shù)值得到B為直角,即可判斷出三角形ABC為直角三角形;
(Ⅱ)把f(x)解析式第一、三項(xiàng)結(jié)合,利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,得到關(guān)于cosx的二次函數(shù),配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)及余弦函數(shù)的值域,即可得到f(A)的范圍.
解答:解:(Ⅰ)法1:∵asinB-bcosC=ccosB,
由正弦定理可得:sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB.
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB,
∴sin(C+B)=sinAsinB,
∵在△ABC中,A+B+C=π,即C+B=π-A,
∴sin(C+B)=sinA=sinAsinB,又sinA≠0,
∴sinB=1,即B=
π
2
,
則△ABC為B=
π
2
的直角三角形;
法2:∵asinB-bcosC=ccosB,
由余弦定理可得asinA=b•
a2+b2-c2
2ab
+c•
a2+c2-b2
2ac
,
整理得:asinB=a,
∵a≠0,∴sinB=1,
∴在△ABC中,B=
π
2
,
則△ABC為B=
π
2
的直角三角形;
(Ⅱ)∵f(x)=
1
2
cos2x-
2
3
cosx+
1
2
=cos2x-
2
3
cosx
=(cosx-
1
3
2-
1
9
,
∴f(A)=(cosA-
1
3
2-
1
9
,
∵△ABC為B=
π
2
的直角三角形,
∴0<A<
π
2
,且0<cosA<1,
∴當(dāng)cosA=
1
3
時(shí),f(A)有最小值是-
1
9

則f(A)的取值范圍是[-
1
9
,
1
3
).
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦、余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,二倍角的余弦函數(shù)公式,余弦函數(shù)的定義域與值域,以及二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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(Ⅲ)為了了解學(xué)生本次考試的失分情況,從成績?cè)赱50,70)內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取3人的成績進(jìn)行分析,用X表示所選學(xué)生成績?cè)赱60,70)內(nèi)的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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,若
a
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