Question

已知函數(shù)y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則x₀稱是函數(shù)y=f（x）的一個不動點(diǎn)，設(shè)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的不動點(diǎn)；
（2）對（1）中的二個不動點(diǎn)a、b（假設(shè)a＞b），求使恒成立的常數(shù)k的值；
（3）對由a₁=1，a_n=f（a_n-1）定義的數(shù)列{a_n}，求其通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

解：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的一個不動點(diǎn)為x₀，
則
（2）由（1）可知
可知使恒成立的常數(shù)k=8．
（3）由（2）知
可知數(shù)列為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列
即以為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列．則
∴．
分析：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的一個不動點(diǎn)為x₀，然后根據(jù)不動點(diǎn)的定義建立方程，解之即可；
（2）由（1）可知，代入可求出常數(shù)k的值；
（3）由（2）可知數(shù)列為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，然后求出通項(xiàng)，即可求出數(shù)列{a_n}的 通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及等比數(shù)列求通項(xiàng)，同時考查了前后問題之間的聯(lián)系，屬于中檔題．