Question

數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，當(dāng)n≥2時，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=3^n-1a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）證明：{b_n}為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由n≥2時，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

，兩邊同乘以3^n-1得，3^n-1a_n=3^n-1a_n-1+2，即b_n-b_n-1=2（n≥2），即得結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=

2n

3n-1

，利用錯位相減法求數(shù)列的和即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，b₁=3⁰×a₁=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

，兩邊同乘以3^n-1得，
3^n-1a_n=3^n-1a_n-1+2，即b_n-b_n-1=2（n≥2），
∴數(shù)列：{b_n}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=3^n-1a_n=2n，∴a_n=

2n

3n-1

，
∴S_n=2×

1

30

+4×

1

31

+…+2（n-1）

1

3n-2

+2n×

1

3n-1

，①
①×

1

3

得，

1

3

S_n=2×

1

31

+4×

1

32

+…+2（n-1）

1

3n-1

+2n×

1

3n

，②
①-②得

2

3

S_n=2×

1

30

+2×

1

31

+…+2×

1

3n-1

-2n×

1

3n

=2×

1- 1 3n

1- 1 3

-2n×

1

3n

=3-

3+2n

3n

，
∴S_n=

9

2

-

3+2n

2×3n-1

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的判斷方法及數(shù)列求和的方法錯位相減法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬難題．