Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（{a＞b＞0}）的離心率為

2

2

，點(diǎn)A（0，1）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，已知過(guò)點(diǎn)D（-2，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)M滿足2

OM

=

OP

+

OQ

，求

|MD|

|MP|

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意求出b，a，然后求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，P，Q分別為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)M即為原點(diǎn)，求出比值；
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my-2．聯(lián)立仔細(xì)與橢圓方程，利用△＞0，求出m的范圍，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），說(shuō)明點(diǎn)M是弦PQ的中點(diǎn)，設(shè)M（x_M，y_M求出

|MD|

|MP|

=

2 |m|

m2-2

=

2

1- 2 m2

，通過(guò)m的范圍求出

|MD|

|MP|

∈(

2

，+∞)．

解答： 解：（1）由題意可知，b=1，e=

c

a

=

2

2

，又a²=b²+c²，解得a=

2

，
所以橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1．…（5分）．
（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，P，Q分別為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，
點(diǎn)M即為原點(diǎn)，|MD|=2，|MA|=

2

，
所以

|MD|

|MP|

=

2

．…（7分）
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my-2．
由

x=my-2 x2 2 +y2=1

得（m²+2）y²-4my+2=0．
△=16m²-8（m²+2）=8m²-16＞0，即m²＞2．…（9分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴y1+y2=

4m

m2+2

．
∵2

OM

=

OP

+

OQ

，∴點(diǎn)M是弦PQ的中點(diǎn)，
設(shè)M（x_M，y_M）．∴yM=

y1+y2

2

=

2m

m2+2

，．…（11分）
∴|MD|=

1+m2

|yM-yD|=

1+m2

2|m|

m2+2

，|MP|=

1+m2

|yM-y1|=

1+m2

|

y1-y2

2

|=

1+m2

△

2(m2+2)

=

1+m2

2 m2-2

m2+2

，
∴

|MD|

|MP|

=

2 |m|

m2-2

=

2

1- 2 m2

，
∵m²＞2，∴

2

m2

∈(0，1)，

1- 2 m2

∈（0，1）．
∴

|MD|

|MP|

∈(

2

，+∞)，綜上所述

|MD|

|MP|

∈(

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．