Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，且PA=AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，E為AB的中點．
（I）證明：PC⊥CD；
（II）在線段PA上是否存在一點F，使EF∥平面PCD，若存在，求

AF

FP

的值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)已知條件，利用線面垂直的判定定理，證出線面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線線垂直．
（Ⅱ）首先假設(shè)存在一點P，使得EF∥平面PCD，進(jìn)一步利用面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行，最后得出結(jié)論成立，說明點的存在．

解答： （Ⅰ）證明：平面ABCD，CD?平面ABCD．
∴PA⊥CD．
因為ABCD為直角梯形，且AB=BC=1，
∴AC=

2

，取AD的中點M，連接CM、CA，
易知四邊形ABCM為矩形，
所以AC=CD=

CM2+AM2

=

2

，
因為AD=2，所以△ACD為直角三角形，
∴AC⊥CD，
又PA∩AC=A．
所以CD⊥平面PAC，
PC?平面PAC．
∴PC⊥CD．
（Ⅱ）解：假設(shè)在PA上存在一點F，當(dāng)

AF

FP

=

1

3

時，EF∥平面PCD．
取AM的中點G，則GE為△ABM的中位線，
所以EG∥BM，
又因為四邊形ABCM為矩形，
所以BM∥CD，
∴EG∥CD．
因為

AG

GD

=

1

3

，在PA上取一點F，使

AF

FP

=

1

3

，
則GF∥PD．
∵EG∩GF=G，
所以平面EGF∥平面PCD．
因為EF?平面EGF．所以EF∥平面PCD．
即當(dāng)

AF

FP

=

1

3

時，EF∥平面PCD．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定定理，線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化，存在性問題的應(yīng)用，面面平行與線面平行之間的轉(zhuǎn)化．屬于中等題型．