已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓
x2
25
+
y2
16
=1上，點(diǎn)M在圓C2：（x-3）2+y2=1上，點(diǎn)A（3，0）滿足PM⊥AM，則|PM|的最小值為
3
3
．
分析：設(shè)點(diǎn)P（s，t），代入橢圓方程，可得t2=16-
16s2
25
，s∈[-5，5]．利用PM⊥AM，可得|PM|2=|PA|2-|AM|2=
9
25
(s-
25
3
)2-1，利用二次函數(shù)在s∈[-5，5]內(nèi)單調(diào)遞減，即可得出|PM|2取得最小值．
解答：解：設(shè)點(diǎn)P（s，t），則
s2
25
+
t2
16
=1，可得t2=16-
16s2
25
，s∈[-5，5]．
∵PM⊥AM，∴|PM|2=|PA|2-|AM|2=（s-3）2+t2-1=s2-6s+8+16-
16s2
25
=
9
25
(s-
25
3
)2-1，
∵上述二次函數(shù)在s∈[-5，5]內(nèi)單調(diào)遞減，因此當(dāng)s=5時(shí)，|PM|2取得最小值=3，即|PM|的最小值為
3
．
故答案為
3
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）在橢圓
x
2
 
25
+
y
2
 
24
=1上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），M是平面內(nèi)任一點(diǎn)，|
AM
|=1，且
PM
•
AM
=0，則|
PM
|的最小值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)(1,b)的直線，記Q是直線l與拋物線x2＝2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)

⑴.已知a＝1，b＝2，p＝2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

⑵.已知點(diǎn)P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點(diǎn)Q落在雙曲線4x2－4y2＝1上。

⑶.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線上，試問動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（上海卷理20）設(shè)P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)(1,b)的直線，記Q是直線l與拋物線x2＝2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)

⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

⑵已知點(diǎn)P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點(diǎn)Q落在雙曲線4x2－4y2＝1上.

⑶已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線上，試問動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（上海卷理20）設(shè)P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)(1,b)的直線，記Q是直線l與拋物線x2＝2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)

⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

⑵已知點(diǎn)P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點(diǎn)Q落在雙曲線4x2－4y2＝1上.

⑶已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線上，試問動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）在橢圓
x2 
25
+
y2 
24
=1上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），M是平面內(nèi)任一點(diǎn)，|
AM
|=1，且
PM
•
AM
=0，則|
PM
|的最小值是（　�。�
A．2
3
B．
15
C．4D．4
3

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