已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc.

證明：∵a＞0,b2+c2≥2bc,

∴由不等式的性質(zhì),得a(b2+c2)≥2abc.①

同理,b(c2+a2)≥2abc,②

c(a2+b2)≥2abc.③

因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù),所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“＝”，從而①②③三式也不能全取“=”.

由不等式的性質(zhì)的推論,①②③三式相加,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc.

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